বীজগণিতীয় ভাবটি কী? Definition এর সংজ্ঞা এবং অর্থ [২০২০]

গাণিতিক ক্রিয়ায় অক্ষর, চিহ্ন এবং সংখ্যার সংমিশ্রণটি বীজগণিতীয় অভিব্যক্তি হিসাবে পরিচিত । সাধারণত অক্ষরগুলি অজানা পরিমাণের প্রতিনিধিত্ব করে এবং একে ভেরিয়েবল বা অজানা বলে । বীজগণিতিক অভিব্যক্তিগুলি সাধারণ ভাষার গাণিতিক ভাষাগুলি অনুবাদগুলিতে অনুবাদ করার অনুমতি দেয়। বীজগণিতীয় অভিব্যক্তি অক্ষর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা সংখ্যায় অজানা মান অনুবাদ করার বাধ্যবাধকতা থেকে উদ্ভূত হয়। এই প্রকাশের অধ্যয়নের জন্য দায়িত গণিতের যে শাখাটিতে সংখ্যা এবং বর্ণ উপস্থিত হয়, পাশাপাশি গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের লক্ষণগুলিও বীজগণিত।

বীজগণিতীয় এক্সপ্রেশনগুলি কী

সুচিপত্র

পূর্বে উল্লিখিত হিসাবে, এই অপারেশনগুলি অক্ষর, সংখ্যা এবং চিহ্নগুলির সংমিশ্রণ ছাড়া আর কিছুই নয় যা পরবর্তীকালে বিভিন্ন গাণিতিক ক্রিয়াকলাপে ব্যবহৃত হয়। বীজগণিতিক অভিব্যক্তিগুলিতে, বর্ণগুলির সংখ্যার আচরণ থাকে এবং যখন তারা এই কোর্সটি গ্রহণ করে, তখন এক থেকে দুটি বর্ণ ব্যবহৃত হয়।

আপনার যে মত প্রকাশই হোক না কেন, প্রথমে করণীয়টি সহজ করা যায়, এটি অপারেশন বা অপারেশনগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে অর্জিত হয় যা সংখ্যার বৈশিষ্ট্যের সমান equivalent বীজগণিতিক ক্রিয়াকলাপের সংখ্যাসূচক মানটি খুঁজে পেতে, আপনাকে অবশ্যই অক্ষরের জন্য একটি নির্দিষ্ট নম্বর রাখতে হবে।

এই অনুভূতিগুলিতে অনেক অনুশীলন করা যেতে পারে এবং প্রশ্নে বিষয়টির বোঝাপড়া আরও উন্নত করতে এই বিভাগে করা হবে।

বীজগণিতীয় এক্সপ্রেশন উদাহরণ:

• (এক্স + 5 / এক্স + 2) + (4 এক্স + 5 / এক্স + 2)

  এক্স + 5 + 4 এক্স + 5 / এক্স + 2

  5 এক্স + 10 / এক্স + 2

  5 (এক্স + 2) / এক্স + 2

  5

• (3 / এক্স + 1) - (1 / এক্স + 2)

  3 (এক্স + 2) - এক্স - 1 / (এক্স + 1) * (এক্স + 2) 2

  এক্স - 5 / এক্স ^ 2 + 3 এক্স + 2

বীজগণিত ভাষা

বীজগণিতীয় ভাষাটি এমন একটি যা সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করতে প্রতীক এবং অক্ষর ব্যবহার করে । এর মূল কাজটি এমন একটি ভাষা প্রতিষ্ঠা করা ও কাঠামো করা যা পাটিগণিতের মধ্যে ঘটে এমন বিভিন্ন ক্রিয়াকলাপকে সাধারণকরণে সহায়তা করে যেখানে কেবল সংখ্যা এবং তাদের প্রাথমিক গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ (+ -x%) ঘটে।

বীজগণিতীয় ভাষাটি এমন একটি ভাষা প্রতিষ্ঠা ও ডিজাইন করতে পারে যা পাটিগণিতের মধ্যে বিকশিত বিভিন্ন ক্রিয়াকলাপকে সাধারণকরণে সহায়তা করে, যেখানে কেবল সংখ্যা এবং তাদের মৌলিক গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ ব্যবহৃত হয়: সংযোজন (+), বিয়োগ (-), গুণ (এক্স) এবং বিভাগ (/)।

বীজগণিতীয় ভাষাটি তার যথার্থতার দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যেহেতু এটি সংখ্যাসূচক ভাষার চেয়ে অনেক বেশি কংক্রিট। এর মাধ্যমে বাক্য সংক্ষেপে প্রকাশ করা যায়। উদাহরণ: 3 এর গুণকের সেটটি (3, 6, 9, 12…) 3n প্রকাশিত হয়েছে, যেখানে এন = (1, 2, 3, 4…)।

এটি আপনাকে অজানা সংখ্যাগুলি প্রকাশ করতে এবং তাদের সাথে গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদনের অনুমতি দেয়। উদাহরণস্বরূপ, দুটি সংখ্যার যোগফলটি এভাবে প্রকাশ করা হয়: a + b। সাধারণ সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য এবং সম্পর্কের অভিব্যক্তি সমর্থন করে।

উদাহরণ: পরিবহনের সম্পত্তিটি এভাবে প্রকাশ করা হয়: axb = bx a। এই ভাষাটি ব্যবহার করে লেখার সময়, অজানা পরিমাণগুলি সাধারণ চিহ্নগুলি দিয়ে লিখতে সক্ষম হয়েছিল, উপপাদাগুলি সরলকরণ, সমীকরণ এবং বৈষম্য গঠনের এবং সেগুলি কীভাবে সমাধান করা যায় তার অধ্যয়ন করার অনুমতি দেয়।

বীজগণিত লক্ষণ এবং চিহ্ন

বীজগণিতের মধ্যে উভয় চিহ্ন এবং চিহ্নগুলি সেট তত্ত্বে ব্যবহৃত হয় এবং এগুলি সমীকরণ, সিরিজ, ম্যাট্রিকেস ইত্যাদি গঠন বা প্রতিনিধিত্ব করে অক্ষরগুলি ভেরিয়েবল হিসাবে প্রকাশ করা হয় বা নামকরণ করা হয়, যেহেতু একই চিঠিটি অন্যান্য সমস্যায় ব্যবহৃত হয় এবং এর মান বিভিন্ন ভেরিয়েবল খুঁজে পায়। কিছু শ্রেণিবদ্ধকরণ বীজগণিতের এক্সপ্রেশনগুলির মধ্যে রয়েছে:

বীজগণিত ভগ্নাংশ

একটি বীজগণিত ভগ্নাংশটি এমন একটি হিসাবে পরিচিত যা দুটি বহুত্ববিন্দুর ভাগফল দ্বারা উপস্থাপিত হয় যা সংখ্যার ভগ্নাংশের মতো আচরণ দেখায়। গণিতে, আপনি গুণ এবং বিভাগ করে এই ভগ্নাংশগুলি দিয়ে পরিচালনা করতে পারেন। সুতরাং, এটি প্রকাশ করতে হবে যে বীজগণিত ভগ্নাংশটি দুটি বীজগণিত বর্ণের ভাগফল দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় যেখানে অংকের বিভাজক এবং বিভাজককে বিভাজক বলে।

বীজগণিত ভগ্নাংশের বৈশিষ্ট্যের মধ্যে এটি হাইলাইট করা যেতে পারে যে, ডিনোমিনেটরকে একই অ-শূন্য পরিমাণে বিভক্ত বা গুণিত করা হলে ভগ্নাংশটি পরিবর্তন করা হবে না। বীজগণিত ভগ্নাংশের সরলকরণের মাধ্যমে এটি একটি ভগ্নাংশে রূপান্তরিত হয় যা আর কমানো যায় না, এটি সংখ্যা এবং বিভাজনকে বহনকারী বহুবচনগুলির ফ্যাক্টর প্রয়োজনীয় being

শ্রেণিবদ্ধকরণ বীজগণিত বর্ণগুলি নিম্নলিখিত ধরণের প্রতিফলিত হয়: সমমান, সরল, সঠিক, অনুচিত, সংখ্যার বা নাল ডিনোমিনেটরের সমন্বয়ে গঠিত। তারপরে আমরা তাদের প্রতিটি দেখতে পাব।

সমতুল্য

ক্রস পণ্যটি যখন একই হয় তখন এই দিকটির মুখোমুখি হয়, যখন ভগ্নাংশের ফলাফল একই হয়। উদাহরণস্বরূপ, এই দুটি বীজগণিত ভগ্নাংশগুলির মধ্যে: 2/ 10 = 5 * 4 হলে 2/5 এবং 4/10 সমান হবে।

সরল

এঁরা হলেন, যেখানে সংখ্যক এবং ডিনোমিনেটর পূর্ণসংখ্যার যৌক্তিক ভাব প্রকাশ করে ।

নিজস্ব

এগুলি হ'ল সরল ভগ্নাংশ, যেখানে সংখ্যার চেয়ে কম থাকে ator

অনুপযুক্ত

এগুলি হ'ল সরল ভগ্নাংশ, যেখানে সংখ্যার সমান বা তার চেয়ে বড়।

সম্মিলিত

এগুলি এক বা একাধিক ভগ্নাংশ দ্বারা গঠিত যা সংখ্যার, ডিনোমিনেটর বা উভয় ক্ষেত্রেই অবস্থিত।

নাল অংক বা ডিনোমিনেটর

মান 0 হয় যখন ঘটে । 0/0 ভগ্নাংশ থাকার ক্ষেত্রে এটি অনির্দিষ্ট হবে। গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদনের জন্য বীজগণিত ভগ্নাংশগুলি ব্যবহার করার সময়, সংখ্যাসূচক ভগ্নাংশের সাথে অপারেশনের কয়েকটি বৈশিষ্ট্য অবশ্যই বিবেচনায় নেওয়া উচিত, উদাহরণস্বরূপ, শুরু করার জন্য, ডিনোমিনেটরগুলি বিভিন্ন সংখ্যার হলে কমপক্ষে সাধারণ একাধিকটি পাওয়া উচিত।

বিভাগ এবং গুণ উভয় ক্ষেত্রে অপারেশনগুলি সংখ্যাসূচক ভগ্নাংশগুলির মতোই সম্পন্ন করা হয় এবং সঞ্চালিত হয়, যেহেতু যখনই সম্ভব হবে এগুলি আগে সরল করতে হবে।

মনোমালিকাগুলি

মনোমালিকাগুলি বিস্তৃতভাবে বীজগণিতীয় অভিব্যক্তি ব্যবহৃত হয় যার একটি ধ্রুবক বলা হয় গুণফল এবং আক্ষরিক অংশ, যা অক্ষর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় এবং বিভিন্ন শক্তিতে উত্থাপিত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, monomial 2x² এর সহগ হিসাবে 2 থাকে এবং x² আক্ষরিক অংশ।

বেশ কয়েকটি অনুষ্ঠানে, আক্ষরিক অংশটি অজানাদের একটি গুণ দ্বারা গঠিত হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ 2 অ্যাক্সির ক্ষেত্রে। এই বর্ণগুলির প্রত্যেককেই অনির্দিষ্ট বা পরিবর্তনশীল বলা হয়। মনোমিয়াল হ'ল একধরণের বহুবচন যা একক পদযুক্ত থাকে, তদুপরি, অনুরূপ মনোমালির সামনে থাকার সম্ভাবনা থাকে ।

মনোমালিকরণের উপাদানসমূহ

একচেটিয়া 5x ^ 3 দেওয়া; নিম্নলিখিত উপাদানগুলি পৃথক করা হয়:

• গুণফল: 5
• আক্ষরিক অংশ: x ^ 3

মনোমালিকাগুলির পণ্যটি সহগ হয়, যা আক্ষরিক অংশকে গুণ করে প্রকাশিত সংখ্যাকে বোঝায়। সাধারণত এটি শুরুতে স্থাপন করা হয়। মনোমালকের পণ্যটির মান যদি 1 হয় তবে এটি লিখিত হয় না এবং এটি কখনই শূন্য হতে পারে না, কারণ পুরো অভিব্যক্তির শূন্যের মান থাকে। একচেটিয়া অনুশীলন সম্পর্কে যদি আপনার কিছু জানা উচিত তবে তা হ'ল:

• যদি কোনও স্মৃতিসৌধের সহগের অভাব হয় তবে এটি একটির সমান।
• যদি কোনও পদটির কোনও এক্সপেন্ডার না থাকে তবে এটি একটি সমান।
• যদি কোনও আক্ষরিক অংশ উপস্থিত না থাকে তবে প্রয়োজনীয় হয় তবে এটিকে শূন্যের ঘনিষ্ঠ হিসাবে বিবেচনা করা হয়।
• যদি এর মধ্যে কোনওটিই সম্মত হয় না, তবে আপনি একচেটিয়া অনুশীলনের সাথে কথা বলছেন না, আপনি এমনকি এটিও বলতে পারেন যে বহুবিবাহ এবং মনোমালির মধ্যে অনুশীলনের সাথে একই নিয়ম বিদ্যমান।

মনোমালিকাগুলির সংযোজন এবং বিয়োগফল

দুটি লিনিয়ার মনোমালির মধ্যে যোগফলগুলি চালাতে সক্ষম হওয়ার জন্য, রৈখিক অংশটি রাখা এবং সহগগুলি যোগ করা প্রয়োজন। দুটি লিনিয়ার মনোমালকের বিয়োগফলগুলিতে, সহগের মতো, রৈখিক অংশটি বজায় রাখতে হবে, তার গুণাগুণগুলি বিয়োগ করতে সক্ষম হবে, তারপরে সহগগুলি গুণিত হবে এবং একই ঘাঁটির সাহায্যে এক্সটোন্ট যুক্ত করা হবে।

মনোমালিকাগুলির গুণন

এটি এমন একশব্দ যাঁর সহগ হ'ল সহগের পণ্য বা ফলাফল, যার আক্ষরিক অংশ রয়েছে যা ক্ষমতাকে একই গুণে গুণনের মাধ্যমে প্রাপ্ত হয়েছিল।

মোমোমিয়াল বিভাগ

এটি অন্য মনোমালিন্যের চেয়ে বেশি কিছু নয় যার সহগটি হ'ল গুণাগুণগুলির ভাগফল যে এটি ছাড়াও, একই ভিত্তিযুক্ত শক্তির মধ্যে বিভাজন থেকে আক্ষরিক অংশ প্রাপ্ত হয়।

বহুবচন

যখন আমরা বহুভুজ সম্পর্কে কথা বলি, আমরা সংযোজন, বিয়োগফলের একটি বীজগণিতিক ক্রিয়াকে উল্লেখ করি এবং ভেরিয়েবল, ধ্রুবক এবং এক্সপোজারগুলির দ্বারা তৈরি গুণকে অর্ডার করি। বীজগণিতের ক্ষেত্রে, একটি বহুবর্ষে একাধিক ভেরিয়েবল (এক্স, ওয়াই, জেড), ধ্রুবক (পূর্ণসংখ্যা বা ভগ্নাংশ) এবং এক্সপোঞ্জার (যা কেবল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার হতে পারে) থাকতে পারে।

বহুবচনগুলি সীমাবদ্ধ পদ দ্বারা গঠিত, প্রতিটি শব্দটি এমন একটি অভিব্যক্তি যা তাদের তৈরি করা তিনটি উপাদানের মধ্যে এক বা একাধিক থাকে: ভেরিয়েবল, ধ্রুবক বা ক্ষয়কারী। উদাহরণস্বরূপ: 9, 9x, 9xy সমস্ত পদ are পদগুলি শনাক্ত করার আরেকটি উপায় হ'ল এগুলি সংযোজন এবং বিয়োগ দ্বারা পৃথক করা হয়।

বহুবৈচিত্রের সমাধান, সরলকরণ, সংযোজন বা বিয়োগ করার জন্য আপনাকে একই ভেরিয়েবলের সাথে শর্তাদি যোগ করতে হবে, উদাহরণস্বরূপ, এক্স সহ শর্তাদি, "y" সহ পদ এবং ভেরিয়েবলগুলি নেই এমন পদগুলির সাথে যোগ দিতে হবে। এছাড়াও, পদটির আগে সাইনটি সন্ধান করা গুরুত্বপূর্ণ যে এটি যুক্ত করবে, বিয়োগ করবে বা গুণ করবে কিনা তা নির্ধারণ করবে। একই ভেরিয়েবল সহ শর্তাদি গোষ্ঠীভুক্ত, যুক্ত বা বিয়োগ করা হয়।

বহুবর্ষের প্রকার

বহুবর্ষীয় পদগুলির সংখ্যাটি বোঝায় যে এটি কী ধরণের বহুপদী রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি একক-মেয়াদী বহুপদী থাকে, তবে এটি একটি স্বতন্ত্রতার মুখোমুখি হয়। এর সুস্পষ্ট উদাহরণ হ'ল বহুমুখী অনুশীলনের মধ্যে একটি (8 গিগাবাইট)। এখানে দ্বি-মেয়াদী বহুবচনও রয়েছে, যাকে দ্বিপদী বলা হয় এবং নিম্নলিখিত উদাহরণটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়: 8 অক্সি - 2 এ।

অবশেষে, তিনটি পদগুলির বহুপদী, যা ত্রিকোণীয় হিসাবে পরিচিত এবং xy৫০-xy০ -২ এ + ৪ এর বহুবচনীয় অনুশীলনগুলির মধ্যে একটি দ্বারা চিহ্নিত হয়, ত্রৈমাসিক তিনটি পদগুলির যোগফল বা পার্থক্যের দ্বারা গঠিত এক ধরণের বীজগণিত প্রকাশ বা monomials (অনুরূপ monomials)।

বহুবর্ষের ডিগ্রি সম্পর্কে কথা বলাও গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি যদি একক পরিবর্তনশীল হয় তবে এটি বৃহত্তম ব্যয়কারী। একাধিক ভেরিয়েবলের সাথে বহুত্বের ডিগ্রি সর্বাধিক ব্যয়কারী দ্বারা শব্দ দ্বারা নির্ধারিত হয়।

বহুবচনগুলির সংযোজন এবং বিয়োগফল

পলিনোমিয়ালের যোগফলের সাথে সম্মিলিত শর্তাদি জড়িত । অনুরূপ পদগুলি মোমোমিয়ালগুলিকে বোঝায় যা একই ভেরিয়েবল বা ভেরিয়েবলগুলি একই পাওয়ারে উত্থাপিত হয়।

বহুবর্ষীয় গণনা সম্পাদনের বিভিন্ন উপায় রয়েছে, বহুভুজের সমষ্টি সহ, যা দুটি ভিন্ন উপায়ে করা যেতে পারে: অনুভূমিকভাবে এবং উল্লম্বভাবে।

• আনুভূমিকভাবে বহুবচনগুলির যোগফল: এটি অনুভূমিকভাবে ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে ব্যবহৃত হয়, অপ্রয়োজনীয়তা মূল্যবান তবে প্রথমে একটি বহুপদী লেখা হয় এবং তারপরে এটি একই লাইনে অনুসরণ করা হয়। এর পরে, যোগ করা বা বিয়োগ করা হতে চলেছে এমন অন্যান্য বহুভুজটি লিখিত এবং অবশেষে, অনুরূপ পদগুলি শ্রেণিবদ্ধ করা হয়েছে।
• বহুবর্ষের উল্লম্ব যোগফল: এটি একটি অর্ডারযুক্ত পদ্ধতিতে প্রথম বহুবচন লিখে অর্জিত হয়। যদি এটি অসম্পূর্ণ থাকে, তবে অনুপস্থিত শর্তগুলির ফাঁক ফাঁকা রেখে দেওয়া গুরুত্বপূর্ণ। তারপরে, পরবর্তী বহুপদটি আগেরটির ঠিক নীচে লেখা হয়, এইভাবে উপরেরটির অনুরূপ শব্দটি নীচে থাকবে। শেষ পর্যন্ত প্রতিটি কলাম যুক্ত করা হয়।

এটি যুক্ত করা গুরুত্বপূর্ণ যে দুটি বহুভুজ যুক্ত করতে, একই ডিগ্রির শর্তগুলির সহগ যোগ করতে হবে। একই ডিগ্রির দুটি পদ যুক্ত করার ফলাফল একই ডিগ্রির আরেকটি পদ। যদি কোনও পদ কোনও ডিগ্রি থেকে অনুপস্থিত থাকে, তবে এটি 0 দিয়ে শেষ করা যেতে পারে এবং এগুলি সাধারণত সর্বোচ্চ থেকে নিম্নতম ডিগ্রি পর্যন্ত অর্ডার করা হয়।

উপরে উল্লিখিত হিসাবে, দুটি বহুভুজের যোগফল সম্পাদনা করতে আপনার কেবল একই ডিগ্রির শর্তাদি যুক্ত করতে হবে। এই অপারেশনের বৈশিষ্ট্যগুলি গঠিত:

• সহযোগী বৈশিষ্ট্য: যার মধ্যে দুটি বহুত্বের যোগফলের যোগফলগুলি একই শক্তিতে বেড়ে যাওয়া x এর সাথে সহগগুলি যোগ করে সমাধান করা হয়।
• আঞ্চলিক সম্পত্তি: যা সংযোজনের ক্রম পরিবর্তন করে এবং ফলাফল হ্রাস করা যায় না। নিরপেক্ষ উপাদানগুলি, যার সকলের সমান গুণফল থাকে 0 এর সমান When যখন একটি বহুপদী নিরপেক্ষ উপাদানটিতে যুক্ত হয়, ফলাফল প্রথমটির সমান হয়।
• বিপরীতে সম্পত্তি: বহুভৌম দ্বারা গঠিত যা সমষ্টিগত বহুভুজ সহগের সমস্ত বিপরীতম সহগ আছে has সুতরাং, সংযোজন অপারেশন সম্পাদন করার সময়, ফলাফলটি নাল বহুপদী হয়।

বহুবর্ষীয় বিয়োগের বিয়োগ সম্পর্কে, (বহুবচনগুলির সাথে অপারেশন) মনোমালিকাগুলি তাদের বৈশিষ্ট্য অনুসারে গোষ্ঠীভুক্ত করা এবং একইরকমগুলির সরলকরণের সাথে শুরু করা জরুরী। পলিনোমিয়ালগুলি সহ অপারেশনগুলি মিনিটেন্ডে সাবট্রেন্ডের বিপরীত যুক্ত করে সঞ্চালিত হয়।

পলিনোমিয়ালগুলি বিয়োগের সাথে এগিয়ে যাওয়ার আরও একটি কার্যকর উপায় হ'ল প্রতিটি বহুত্বের বিপরীতে একে অপরের নীচে লেখা। সুতরাং, অনুরূপ মনোমালিকাগুলি কলামগুলিতে থেকে যায় এবং আমরা সেগুলি যুক্ত করতে এগিয়ে যাই। কোন কৌশলটি বাহিত হয় তা বিবেচনাধীন, শেষ পর্যন্ত, ফলাফলটি সর্বদা একই রকম হবে, অবশ্যই যদি এটি সঠিকভাবে করা হয়।

বহুবর্ষের গুণফল

বহুবর্ষ এবং মনোমালিকগুলির মধ্যে মনোমালিয়াল বা ব্যায়ামগুলির গুণন, এটি এমন একটি অপারেশন যা ফলস্বরূপ পণ্যটি খুঁজে পাওয়ার জন্য একটি মনোমালিক (কোনও সংখ্যার গুণনের উপর ভিত্তি করে বীজগণিতের প্রকাশ এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার উদ্দীপককে উত্থাপিত চিঠি) এবং অন্যটি বলে অভিব্যক্তি, যদি এটি একটি স্বতন্ত্র শব্দ হয় তবে অন্য একক মৌলিক বা একটি বহুপদী (এককথায় এবং স্বতন্ত্র পদগুলির সীমাবদ্ধ যোগফল)।

যাইহোক, প্রায় সমস্ত গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ হিসাবে, বহুবচনগুলির সংখ্যাবৃদ্ধিরও প্রস্তাবিত অপারেশনটি সমাধান করার সময় অনুসরণ করা আবশ্যক, যা নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে সংক্ষিপ্ত করা যেতে পারে:

প্রথমে করণীয়টি তার প্রকাশ দ্বারা মনোমালিক্যকরণ করা হয় (এর প্রতিটি শর্তের লক্ষণগুলিকে গুণ করে)। এর পরে, সহগের মানগুলি গুণিত হয় এবং যখন সেই ক্রিয়াকলাপে মানটি পাওয়া যায়, পদগুলিতে পাওয়া মোমোমিয়ালগুলির আক্ষরিক যোগ হয়। তারপরে প্রতিটি ফলাফল বর্ণানুক্রমিক ক্রমে লিখিত হয় এবং অবশেষে, প্রতিটি সূচক যুক্ত করা হয়, যা বেস ল্যাটারেলগুলিতে অবস্থিত।

বহুভৌম বিভাগ

রাফিনি পদ্ধতি হিসাবেও পরিচিত । এটি আমাদেরকে দ্বি-দ্বি দ্বারা বহুভুজকে বিভক্ত করতে সহায়তা করে এবং আমাদের বহুবর্ষের শিকড়গুলি এটি দ্বি-দ্বিবিশ্লে ফ্যাক্ট করার অনুমতি দেয়। অন্য কথায়, এই কৌশলটি ডিগ্রি এন এর একটি বীজগণিত বহুপদী, একটি বীজগণিত দ্বিপদী এবং তারপরে ডিগ্রি এন-1 এর আরেকটি বীজগণিত বহুভুজের মধ্যে বিভাজন বা পচন সম্ভব করে তোলে । এবং এটি সম্ভব হওয়ার জন্য, বিচ্ছেদটি যথাযথ হওয়ার জন্য, অনন্য বহুবর্ষের অন্তত একটি শেকড় জানা বা জানা দরকার।

এক্স - আর ফর্মের দ্বিপদী দ্বারা বহুবচনকে বিভক্ত করার একটি দক্ষ কৌশল । বিভাজন যখন লিনিয়ার ফ্যাক্টর হয় তখন রুফিনির নিয়ম সিন্থেটিক বিভাগের একটি বিশেষ কেস। 1804 সালে ইতালীয় গণিতবিদ, অধ্যাপক এবং চিকিত্সক পাওলো রুফিনি দ্বারা রুফিনির পদ্ধতিটি বর্ণনা করা হয়েছিল, যিনি রাফিনীর নিয়ম নামে একটি বিখ্যাত পদ্ধতি আবিষ্কার করার পাশাপাশি একটি বহুবর্ষের টুকরো টুকরো করার ফলাফলটির সহগগুলি খুঁজে পেতে সহায়তা করেছিলেন দ্বিপদী; সমীকরণের শিকড়গুলির আনুমানিক গণনাতেও তিনি এই কৌশলটি আবিষ্কার করেছিলেন এবং তৈরি করেছিলেন।

বরাবরের মতো, যখন এটি একটি বীজগণিতিক অপারেশনের কথা আসে, রুফিনির নিয়মে একটি ধরণের পদক্ষেপ জড়িত থাকে যা কাঙ্ক্ষিত ফলাফলটিতে পৌঁছানোর জন্য অবশ্যই পূরণ করতে হবে, এই ক্ষেত্রে: কোনও প্রকারের বহুবর্ষের বিভাগের মধ্যে ভাগফল এবং বাকী অংশ অন্তর্নিহিত এবং একটি x + r ফর্মের দ্বিপদী

প্রথমত, অপারেশন শুরু করার সময়, রাফিনি বিধি পদ্ধতি দ্বারা প্রত্যাশিত ফর্মকে প্রতিক্রিয়া জানায় এমনগুলি বহুপদী এবং দ্বিপদী হিসাবে সত্যই বিবেচিত হয় কিনা তা যাচাই বা তা নির্ধারণ করতে অবশ্যই অভিব্যক্তিগুলি পর্যালোচনা করতে হবে।

একবার এই পদক্ষেপগুলি যাচাই হয়ে গেলে, বহুপথটি আদেশ হয় (অবতরণ ক্রমে)। এই পদক্ষেপটি শেষ হয়ে গেলে, কেবল বহুপদী পদগুলির সহগের (স্বতন্ত্র একটি পর্যন্ত) অ্যাকাউন্টে নেওয়া হয়, এগুলি বাম থেকে ডানে এক সারি রেখে। প্রয়োজনীয় শর্তাদির জন্য কিছু স্থান বাকি রয়েছে (কেবলমাত্র একটি অসম্পূর্ণ বহুবর্ষের ক্ষেত্রে)। গ্যালির চিহ্নটি সারির বাম দিকে স্থাপন করা হয়েছে, যা লভ্যাংশের বহুভুজের সহগ সমন্বিত।

গ্যালারীটির বাম অংশে, আমরা দ্বিপদীটির স্বতন্ত্র পদ স্থাপন করতে এগিয়ে চলেছি, যা এখন একটি বিভাজক এবং এর চিহ্নটি বিপরীত। স্বতন্ত্রটি বহুবর্ষের প্রথম সহগ দ্বারা গুণিত হয়, এভাবে প্রথমটির নীচে দ্বিতীয় সারিতে নিবন্ধন হয়। তারপরে দ্বিতীয় সহগ এবং স্বাধীন একক শব্দটির পণ্যটি প্রথম সহগ দ্বারা বিয়োগ করে।

দ্বিপদী স্বতন্ত্র শব্দটি পূর্ববর্তী বিয়োগের ফলাফল দ্বারা গুণিত হয় । তবে এটি দ্বিতীয় সারিতে স্থাপন করা হয় যা চতুর্থ গুণফলের সাথে মিলে যায়। সমস্ত শর্ত পৌঁছে না হওয়া পর্যন্ত অপারেশন পুনরাবৃত্তি হয়। এই গুণগুলির উপর ভিত্তি করে প্রাপ্ত তৃতীয় সারিটি তার শেষ পদের ব্যতীত ভাগফল হিসাবে নেওয়া হবে, যা বিভাগের বাকী অংশ হিসাবে বিবেচিত হবে।

ফলটি প্রকাশ করা হয়, ভেরিয়েবলের প্রতিটি সহগ এবং এটির সাথে মিলিত ডিগ্রি সহ, তাদেরকে মূলত তার চেয়ে কম ডিগ্রি দিয়ে প্রকাশ করা শুরু করে।

• অনুস্মারক উপপাদ্য: এটি একটি ব্যবহারিক পদ্ধতি যা বহুপদী পি (এক্স) কে অন্যরকম দ্বারা ভাগ করে যা এক্সএ; যার মধ্যে কেবলমাত্র বাকীটির মান পাওয়া যায়। এই নিয়মটি প্রয়োগ করতে, নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করা হয়। বহিরাগত লভ্যাংশ সম্পূর্ণ বা অর্ডার না করেই লেখা হয়, তারপরে লভ্যাংশের ভেরিয়েবল এক্সটি বিভাজকের স্বতন্ত্র পদের বিপরীত মানের সাথে প্রতিস্থাপিত হয়। এবং অবশেষে, অপারেশন সংমিশ্রণে সমাধান করা হয়।

  অবশিষ্ট উপপাদ্য একটি পদ্ধতি যার মাধ্যমে আমরা বীজগণিত বিভাগের বাকী অংশগুলি পেতে পারি তবে এতে কোনও বিভাগ করার প্রয়োজন হয় না।

এটি আমাদের উদাহরণস্বরূপ, এক্সএ ফর্মের আরও একটি দ্বারা বহুভুজ পি (এক্স) এর ভাগের অংশ খুঁজে বের করতে সহায়তা করে । এই উপপাদ্য থেকে এটি অনুসরণ করে যে একটি বহুপদী p (x) কেবলমাত্র xa দ্বারা বিভাজ্য, কেবলমাত্র এবং কেবলমাত্র p (a) = 0. যদি C (x) ভাগফল এবং R (x) হয় দ্বি দ্বি দ্বারা কোনও বহুবর্ষীয় পি (এক্স) বিভাজনের অবশিষ্টাংশ যা (xa) পি (x) এর সংখ্যাগত মান হবে, x = a এর জন্য এটি xa দ্বারা এর বিভাগের বাকী অংশের সমান।

তারপরে আমরা এটি বলব: এনপি (ক) = সি (ক) • (ক - ক) + আর (ক) = আর (ক)। সাধারণভাবে, জা দ্বারা বিভাগের বাকী অংশটি পেতে, এক্স প্রতিস্থাপনের চেয়ে রুফিনির নিয়ম প্রয়োগ করা আরও সুবিধাজনক। সুতরাং, বাকী উপপাদ্য সমস্যা সমাধানের জন্য সবচেয়ে উপযুক্ত পদ্ধতি।

• রুফিনির পদ্ধতি: রাফিনির পদ্ধতি বা নিয়ম এমন একটি পদ্ধতি যা আমাদের দ্বিপদী দ্বারা বহুভুজকে বিভক্ত করতে দেয় এবং আমাদের দ্বিপদীকে ফ্যাক্টারে বহুবর্ষের শিকড় সনাক্ত করতে দেয়। অন্য কথায়, এই কৌশলটি ডিগ্রি এন এর একটি বীজগণিত বহুপদী, একটি বীজগণিত দ্বিপদী এবং তারপরে ডিগ্রি এন-1 এর আরেকটি বীজগণিত বহুভুজের মধ্যে বিভাজন বা পচন সম্ভব করে তোলে। এবং এটি সম্ভব হওয়ার জন্য, বিচ্ছেদটি যথাযথ হওয়ার জন্য, অনন্য বহুবর্ষের অন্তত একটি শেকড় জানা বা জানা দরকার।

গাণিতিক বিশ্বে, রাফিনির নিয়মটি এক্স - আর ফর্মের দ্বিপদী দ্বারা বহুবর্ষকে বিভক্ত করার একটি দক্ষ কৌশল। বিভাজন যখন লিনিয়ার ফ্যাক্টর হয় তখন রুফিনির নিয়ম সিন্থেটিক বিভাগের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।

1804 সালে ইতালীয় গণিতবিদ, অধ্যাপক এবং চিকিত্সক পাওলো রুফিনি দ্বারা রুফিনির পদ্ধতিটি বর্ণনা করা হয়েছিল, যিনি রাফিনীর নিয়ম নামে একটি বিখ্যাত পদ্ধতি আবিষ্কার করার পাশাপাশি একটি বহুবর্ষের টুকরো টুকরো করার ফলাফলটির সহগগুলি খুঁজে পেতে সহায়তা করেছিলেন দ্বিপদী; সমীকরণের শিকড়গুলির আনুমানিক গণনাতেও তিনি এই কৌশলটি আবিষ্কার করেছিলেন এবং তৈরি করেছিলেন।

• বহুবর্ষের মূল: বহুভুজের শিকড়গুলি নির্দিষ্ট সংখ্যা যা শূন্যের মূল্য বহন করে। আমরা এটিও বলতে পারি যে পূর্ণসংখ্যার গুণফলগুলির একটি বহুবর্ষের সম্পূর্ণ শিকড়গুলি স্বাধীন শব্দটির বিভাজনকারী হবে। আমরা যখন শূন্যের সমান একটি বহুবর্ষকে সমাধান করি, তখন আমরা বহুবর্ষের শিকড়গুলিকে সমাধান হিসাবে পাই। বহুবর্ষের শিকড় এবং কারণগুলির বৈশিষ্ট্য হিসাবে আমরা বলতে পারি যে একটি বহুবর্ষের শূন্য বা শিকড়গুলি বহুবর্ষের সাথে সম্পর্কিত স্বাধীন পদটির বিভাজক দ্বারা হয়।

তারপরে, প্রতিটি রুটের জন্য, উদাহরণস্বরূপ, x = টাইপের টাইপ (xa) টাইপের দ্বিপদী সাথে মিল রয়েছে। আমরা যদি পণ্য হিসাবে বা শিকড়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ (xa) টাইপের সমস্ত দ্বিপদী থেকে এক্সটার্নাল হিসাবে প্রকাশ করি তবে ফ্যাক্টরগুলিতে একটি বহুপদী প্রকাশ করা সম্ভব that এটি বিবেচনায় নেওয়া উচিত যে দ্বিপদীগুলির প্রকাশকারীদের সমষ্টি বহুবর্ষের ডিগ্রির সমান, এটিও বিবেচনায় নেওয়া উচিত যে কোনও বহুপদী যে কোনও স্বতন্ত্র পদ নেই তা মূল x = 0 হিসাবে স্বীকার করবে, অন্যভাবে, এটি হিসাবে স্বীকৃত হবে এক্স ফ্যাক্টর.

আমরা যখন একটি বহুবর্ষীয় "প্রাইম" বা "অদম্য" কল করব যখন এটির ফ্যাক্টর হওয়ার কোনও সম্ভাবনা নেই ।

বিষয়টির সন্ধান করার জন্য আমাদের অবশ্যই বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য সম্পর্কে স্পষ্ট হওয়া উচিত, যা বলেছে যে অ-ধ্রুবক পরিবর্তনশীল এবং জটিল সহগগুলির একটি বহুপদী তার ডিগ্রির মতো যতগুলি শিকড় রয়েছে, যেহেতু শিকড়গুলির বহুগুণ রয়েছে। এটি নিশ্চিত করে যে ডিগ্রি n এর যে কোনও বীজগণিত সমীকরণের এন জটিল সমাধান রয়েছে। ডিগ্রি এন এর বহুবর্ষে সর্বাধিক এন আসল থাকে ।

উদাহরণ এবং অনুশীলন

এই বিভাগে আমরা এই পোস্টে অন্তর্ভুক্ত প্রতিটি বিষয়গুলির জন্য কিছু বীজগণিতিক প্রকাশগুলি সমাধানের অনুশীলন করব ।

বীজগণিতীয় এক্সপ্রেশন অনুশীলন:

• এক্স ^ 2 - 9/2 এক্স + 6

  (এক্স + 3) * (এক্স - 3) / 2 * (এক্স + 3)

  এক্স - 3/2

• এক্স ^ 2 + 2 এক্স + 1 / এক্স ^ 2 - 1

  (এক্স + 1) ^ 2 / (এক্স + 1) * (এক্স - 1)

  এক্স + 1 / এক্স - 1

বহুবর্ষের যোগফল

• 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
• পি (x) = 2 × 2 + 5x-6

  কিউ (এক্স) = 3 × 2-6x + 3

  পি (এক্স) + কিউ (এক্স) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3

বহুবচনগুলির বিয়োগ

পি (এক্স) = 2 × 2 + 5x-6

কিউ (এক্স) = 3 × 2-6x + 3

পি (এক্স) -কিউ (এক্স) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9

বহুভৌম বিভাগ

• 8 এ / 2 এ = (8/2)। (এ / এ) = 4
• 15 এআই / 3 এ = (15/3) (এআই) / এ = 5 এবং
• 12 বিসিসি / -2 বিসিসি = (12 / -2) (বিসিসি) / (বিসিসি।) = -6
• -6 ভি 2 সি। x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (ভিসি সি) = 2 ভি

বীজগণিতিক অভিব্যক্তি (দ্বিপদী স্কোয়ার)

(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9

(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9

রিমাইন্ডার উপপাদ্য

(x4 - 3 × 2 + 2):(এক্স - 3)

আর = পি (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56

মনোমালিকাগুলির গুণন

axn bxm = (a b) xn + m

(5x²y³z) (2y²z²) = (2 · 5) x²y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³

4x · (3x²y) = 12x³y

মোমোমিয়াল বিভাগ

8 এ / ২

এ = (

৮/২) (বিসিসি) / (বিসিসি।) = -6

-6 ভি 2। গ। x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c। x) / (v। সি) = 2 ভি

মনোমালিকাগুলির সংযোজন এবং বিয়োগফল

অনুশীলন: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2

সমাধান: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5 -2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x + 3

বীজগণিতিক অভিব্যক্তি সম্পর্কে প্রায়শই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন

বীজগণিতীয় ভাবগুলি কী কী?

এগুলি বিভিন্ন গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ দ্বারা সংযুক্ত সংখ্যার এবং অক্ষরের সংমিশ্রণ।

বহুবচন নিয়ে যে অপারেশনগুলি করা হয়?

সংযোজন, বিয়োগ, গুণ এবং বিভাগ।

বীজগণিতিক অভিব্যক্তিগুলির সংখ্যাগত মানটি কী?

এটি সংখ্যার বিকল্প, অপারেশনগুলির মধ্যে অক্ষর বা অক্ষরগুলির বিকল্প থেকে প্রাপ্ত নম্বর।

দ্বিপদী বর্গক্ষেত্র কীভাবে সমাধান করা হয়?

দ্বিপদী স্কোয়ারটি প্রথম পদটির বর্গক্ষেত্রের সমান, দ্বিতীয় পদ দ্বারা প্রথম পদটির পণ্য দ্বিগুণ করে এবং দ্বিতীয়টির বর্গ যোগ করে।

কীভাবে একটি একক ও বহুবর্ষ চিহ্নিত করতে হয়?

মোমোমিয়ালগুলি চিহ্নিত করা হয় কারণ এগুলি পরিবর্তক এবং সংখ্যার পণ্য, পরিবর্তে, বহুবর্ষগুলি মনোমালিক্যের যোগফল।